Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1且a_n+1=1-3S_n．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=1-3S_n．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=1-3S_n-1，
可得a_n+1-a_n=-3a_n，化為a_n+1=-2a_n．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為-2，首項(xiàng)為1．
∴a_n=（-2）^n-1．
（2）∵a_nb_n=n，∴b_n=$\frac{n}{（-2）^{n-1}}$．
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+$\frac{2}{-2}$+$\frac{3}{（-2）^{2}}$+…+$\frac{n}{（-2）^{n-1}}$，
$-\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{-2}+\frac{2}{（-2）^{2}}+\frac{3}{（-2）^{3}}$+…+$\frac{n-1}{（-2）^{n-1}}$+$\frac{n}{（-2）^{n}}$，
∴$\frac{3}{2}{T}_{n}$=$1+\frac{1}{-2}+\frac{1}{（-2）^{2}}$+…+$\frac{1}{（-2）^{n-1}}$-$\frac{n}{（-2）^{n}}$=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{-2}}$-$\frac{n}{（-2）^{n}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2+3n}{3×（-2）^{n}}$
∴T_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+6n}{9×（-2）^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．