Question

設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)x+my=0與過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|+|PB|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：恒過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：動(dòng)直線(xiàn)x+my=0過(guò)定點(diǎn)A（0，0），動(dòng)直線(xiàn)mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0過(guò)定點(diǎn)B（1，3）．無(wú)論m=0，m≠0，都有此兩條直線(xiàn)垂直．因此點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，利用

2(|PA|2+|PB|2)

≥|PA|+|PB|≥|AB|，即可得出．

解答： 解：動(dòng)直線(xiàn)x+my=0過(guò)定點(diǎn)A（0，0），
動(dòng)直線(xiàn)mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0過(guò)定點(diǎn)B（1，3）．
無(wú)論m=0，m≠0，都有此兩條直線(xiàn)垂直．
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，
|AB|=

12+32

=

10

，|PA|²+|PB|²=10．
∴

2(|PA|2+|PB|2)

≥|PA|+|PB|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=

5

時(shí)取等號(hào)．
∴2

5

≥|PA|+|PB|≥

10

．
故答案為：[

10

，2

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“直線(xiàn)系”的應(yīng)用、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系、圓的性質(zhì)、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．