Question

對于數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}．定義：a₁+a₂+…+a_n為集合A的“均值“，則集合{1，2，…，2013}的所有非空子集的“均值“的算術(shù)平均值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：集合{1，2，…，2013}的所有非空子集共有2²⁰¹³-1個(gè)，其中：含有一個(gè)元素的集合有2013個(gè)：{1}，{2}，…，{2013}，其均值分別為1，2，…，2013；
含有兩個(gè)元素的集合有

∁

2 2013

個(gè)：{1，2}，{1，3}，…{1，2013}，…，{2012，2013}，其均值分別為1+2，1+3，…1+2013，…，2012+2013；…，
含有2013個(gè)元素的集合有1個(gè)：{1，2，…，2012，2013}，其均值分別為1+2+…+2012+2013．由上面可得：1，2，…，2013中的每一個(gè)數(shù)均出現(xiàn)2²⁰¹²次，
即可得出．

解答： 解：集合{1，2，…，2013}的所有非空子集共有2²⁰¹³-1個(gè)，
其中：含有一個(gè)元素的集合有2013個(gè)：{1}，{2}，…，{2013}，其均值分別為1，2，…，2013；
含有兩個(gè)元素的集合有

∁

2 2013

個(gè)：{1，2}，{1，3}，…{1，2013}，…，{2012，2013}，其均值分別為1+2，1+3，…1+2013，…，2012+2013；
…，
含有2012個(gè)元素的集合有

∁

2012 2013

個(gè)：{1，2，…，2012}，{1，2，3，…，2011，2013}，…{2，3，…，2013}，其均值分別為1+2+…+2012，1+2+…+2011+2013，…，2+3+…+2012+2013．
含有2013個(gè)元素的集合有1個(gè)：{1，2，…，2012，2013}，其均值分別為1+2+…+2012+2013．
由上面可得：1，2，…，2013中的每一個(gè)數(shù)均出現(xiàn)2²⁰¹²次，
∴集合{1，2，…，2013}的所有非空子集的“均值“的算術(shù)平均值=

22012× 2013(1+2013) 2

22012

=2013×1007=2027091．
故答案為：2027091．

點(diǎn)評：本題考查了集合的性質(zhì)、新定義“均值”、算術(shù)平均值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．