Question

7．設(shè)$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$都是單位向量，且$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{2}$．設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為θ，則θ=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用兩邊平方，結(jié)合向量的平方即為模的平方，可得向量a，b的數(shù)量積，代入化簡(jiǎn)可得向量a，c的數(shù)量積；再由向量的夾角公式得到所求夾角．

解答 解：由$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$都是單位向量，且$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{c}$，
平方可得，$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$²，
即有1+1+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，
即為$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{1×1}$=-$\frac{1}{2}$，
由0≤θ≤π，可得θ=$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的夾角的求法，注意運(yùn)用向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，屬于中檔題．