Question

15．已知關(guān)于x的方程x²+ax+2b+1=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁、x₂，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，則$\frac{b-1}{a-1}$的取值范圍是（$\frac{1}{8}$，2）．

Answer 1

分析 令f（x）=x²+ax+2b+1，則$\left\{\begin{array}{l}f（-1）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.$畫(huà)出滿足約束條件的可行域，分析$\frac{b-1}{a-1}$的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：令f（x）=x²+ax+2b+1，
∵關(guān)于x的方程x²+ax+2b+1=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁、x₂，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，
則$\left\{\begin{array}{l}f（-1）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-a+2b+2＞0\\ a+2b+2＜0\\ 2a+2b+5＞0\end{array}\right.$，
滿足約束條件的可行域如下圖所示：

$\frac{b-1}{a-1}$表示可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)（x，y）與P（1，1）點(diǎn)連線的斜率，
由PA=2，PB=$\frac{1}{8}$得：$\frac{b-1}{a-1}$的取值范圍是（$\frac{1}{8}$，2），
故答案為：（$\frac{1}{8}$，2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件，一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，線性規(guī)劃，難度中檔．