Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂+a₄=66，a₃+a₅=60，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），若對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≤S_k，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先由a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），得出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
再求出公差d與首項(xiàng)a₁，寫出通項(xiàng)a_n，判斷a_n≥0時(shí)，S_n取得最大值，從而求出k的值．

解答： 解：數(shù)列{a_n}中，a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），
∴a_n+2+a_n=2a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
又∵a₂+a₄=66，a₃+a₅=60，
∴

(a1+d)+(a1+3d)=66 (a1+2d)+(a1+4d)=60

解得公差d=-3，
首項(xiàng)a₁=39；
∴通項(xiàng)a_n=a₁+（n-1）d=39-3（n-1）=42-3n；
令a_n=0，解得n=13；
∴當(dāng)n≤13時(shí)，a_n≥0，
當(dāng)n＞14時(shí)，a_n＜0；
∴S_n的最大值是S₁₂或S₁₃，
∴對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≤S_k，則k=12或13．
故答案為：12或13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的應(yīng)用問題，是中檔題目．