Question

已知P是拋物線y²=2x上的點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0），試求點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值（其中m∈R）．

Answer 1

分析：先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的表達(dá)式；再結(jié)合二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法即可求出點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值．

解答：解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則d=|PM|=

(x0-m)2+(y0-0)2

=

x02+y02-2mx0+m2

=

x02+(2-2m)x0+m2

(x0≥0)
令t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）則其對(duì)稱軸為x₀=m-1
（1）當(dāng)m-1＜0即m＜1時(shí)
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²在x₀≥0時(shí)為增函數(shù)，
所以dmin=

t|x0=0

=|m|=m
（2）當(dāng)m-1≥0即m≥1時(shí)，
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）在（0，m-1）上遞減，在（m-1，+∞）上遞增，
所以：dmin=

t|xo=m-1

=

2m-1

綜上所述，當(dāng)m＜1，點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值為m；
          當(dāng)m≥1，點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值為

2m-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法．在求二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值時(shí)，一定要注意分對(duì)稱軸在區(qū)間左邊，對(duì)稱軸在區(qū)間右邊以及對(duì)稱軸在區(qū)間中間三種情況來討論，以免出錯(cuò)．