Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB．

（1）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（2）求證：PD∥平面EAC．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥底面ABCD，BC底面ABCD，∴PA⊥BC，

又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．

∵BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．

（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影．

又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．

在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得 ，

∴ ．

又∵AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形．

∴ ．

連接BD，交AC于點(diǎn)M，則由AB∥CD得： ．

在△BPD中， ，所以PD∥EM

又∵PD平面EAC，EM平面EAC，

∴PD∥平面EAC．

【解析】1、由線面垂直得到線線垂直，再由線線垂直得到線面垂直，根據(jù)線線垂直的判定定理可得證。
2、做輔助線連接BD，交AC于點(diǎn)M,連接EM由射影定理可得AC⊥AD． 在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得 ∠ D C A = ∠ B A C = ，∵AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形． D C = A C = ( A B ) = 2 A B ，由AB∥CD得 ,在△BPD中， ，所以PD∥EM,又∵PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC．