Question

【題目】已知實數(shù)λ＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=eλx﹣ ．
（Ⅰ）當λ=1時，求函數(shù)g（x）=f（x）+lnx﹣x的極值；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）λ=1時，g（x）=ex﹣x，g′（x）=ex﹣1，

令g′（x）＜0，解得：x＜0，令g′（x）＞0，解得：x＞0，

故g（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，

故g（x）無極大值，極小值是g（0）=1；

（Ⅱ）當0＜x≤1時，易知不等式eλx﹣ ≥0恒成立，

x＞1時，由題設(shè)得不等式λeλx≥lnx，即λxeλx≥lnxelnx（*）恒成立，

設(shè)φ（t）=tet（t＞0），

則由φ′（t）=et（1+t）＞0，

知φ（t）在（0，+∞）遞增，

于是，x＞1時，由（*）知φ（λx）≥φ（lnx），

即λ≥ 在（1，+∞）恒成立，

故所求λ的最小值即為函數(shù)p（x）= （x＞1）的最大值，

∵p′（x）= ，故1＜x＜e時，p′（x）＞0，p（x）遞增，

x＞e時，p′（x）＜0，函數(shù)p（x）遞減，

綜上，λmin=p（x）max=p（e）=

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）進行參變分離將問題轉(zhuǎn)化為λ≥ 在（1，+∞）恒成立，所求λ的最小值即為函數(shù)P（x）的最大值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出λ的最小值即可.
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．