Question

已知數(shù)列{2a_n-1}是公比為3的等比數(shù)列，且a₁=1，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2n²+2n-2，且c_n=（a_n-

1

2

）•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，數(shù)列{2a_n-1}的通項(xiàng)公式，移向變形得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由S_n=2n²+2n-2，利用當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n=-S _n-1，求出b_n，繼而求出c_n，選擇適當(dāng)求和法求解．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，數(shù)列{2a_n-1}的通項(xiàng)公式為2a_n-1=1×3^n-1，所以a_n=

3n-1+1

2

（Ⅱ）由S_n=2n²+2n-2，可得
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n=-S _n-1=4n，
所以c_n=（a_n-

1

2

）•b_n=

3n-1+1

2

•b_n=

1，n=1 2n•3n-1，n≥2

當(dāng)n=1時(shí)，T₁=c₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=1+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1
3T_n=3+4•3²+6•3³+…+2（n-1）•3^n-1+2n•3ⁿ
-2T_n=-2+4×3+2•3²+2•3³+…+2•3^n-1-2n•3ⁿ
=10+

2•32(1-3n-2)

1-3

-2n•3ⁿ
=（1-2n）•3ⁿ+1，
T_n=

(2n-1)•3n-1

2

．
n=1時(shí)，也適合，所以T_n=

(2n-1)•3n-1

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，數(shù)列求和，本題中要注意分類討論求通項(xiàng)和求和，是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．屬于中檔題．