如圖，幾何體A1C1-ABC中，四邊形AA1C1C為平行四邊形，且面AA1C1C⊥面ABCAA1=A1C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中點．
（Ⅰ）證明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線BC1與底面ABC所成角的正弦值．
（1）證明：∵AA1=A1C=AC，∴△AA1C是等邊三角形，
∵O是AC中點，∴A1O⊥AC，
∵AC是面AA1C1C和面ABC的交線，且面AA1C1C⊥面ABC，
又∵A1O?面AA1C1C，
∴A1O⊥面ABC．
（2）作C1E⊥AC，交AC的延長線于點E，連接BE，
則C1E∥A1O，∴C1E⊥面ABC，
∴∠C1BE就是直線BC1與底面ABC所成角．
∵四邊形AA1C1C為平行四邊形，且面AA1C1C⊥面ABC，
AA1=A1C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中點．
∴C1E=A1O=
3
，AB=BC=
2
，
∴C1O=
22+(
3
)2
=
7
，BO=1，
∴BC1=
(
7
)2+1
=2
2
，
∴sin∠C1BE=
C1E
BC1
=
2
2
2
=
1
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=
2
，E、F、G分別A1B1、B1C1、BB1的中點．
（1）求直線D1B與平面ABCD所成角的大�。�
（2）求證：AC∥平面EGF．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，AB=2，AA1=2
3
，D、E分別為AA1、BC1的中點．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）求三棱錐C-BC1D的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為點A，PA=AB=2，點M，N分別是PD，PB的中點．
（I）求證：PB∥平面ACM；
（II）求證：MN⊥平面PAC；
（III）求四面體A-MBC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=2，CC1=5，M為棱CC1上一點．
（1）若C1M=
3
2
，求異面直線A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）是否存在這樣的點M使得BM⊥平面A1B1M？若存在，求出C1M的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求面EAC與面DAC所成的二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點，G是AD的中點，EC與平面ABCD成30°角．
（1）求證：EG⊥平面ABCD；
（2）若AD=2，求二面角E-FC-G的度數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，AO⊥平面α，點O為垂足，BC?平面α，BC⊥OB，若∠ABO=
π
4
，∠COB=
π
6
，則cos∠BAC=______．

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