如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=2，CC1=5，M為棱CC1上一點(diǎn)．
（1）若C1M=
3
2
，求異面直線A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)M使得BM⊥平面A1B1M？若存在，求出C1M的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）過(guò)點(diǎn)M作MN∥C1D，交D1D于N，連接A1N，
則∠A1MN或其補(bǔ)角就是異面直線A1M和C1D1所成角
在Rt△A1NM中，AB=1，A1N=
22+(
3
2
)2
=
5
2

∴tan∠A1MN=
A1N
MN
=
5
2

由此可得，當(dāng)C1M=
3
2
時(shí)，異面直線A1M和C1D1所成角的正切值為
5
2
；
（2）∵A1B1⊥平面BB1C1C，BM⊆平面BB1C1C，
∴A1B1⊥BM，
因此可得：只要B1M⊥BM，就有BM⊥平面A1B1M．
假設(shè)存在M點(diǎn)，使得BM⊥平面A1B1M，設(shè)C1M=x
則矩形BB1C1C中，B1M⊥BM，所以∠MB1C1=∠MBB1
∴Rt△B1MB∽Rt△MB1C1，所以
C1M
B1M
=
B1M
B1B

∴B1M2=B1B•C1M，可得4+x2=5x，解之得x=1或4
∴當(dāng)C1M的長(zhǎng)為1或4時(shí)，存在點(diǎn)M使得BM⊥平面A1B1M．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，且∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：B1F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-EB1-F的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是BB1，CC1與AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AE∥平面A1DF；
（2）求證：A1M⊥平面AED；
（3）正方體棱長(zhǎng)為2，求三棱錐A1-DEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于（　�。�
A．直線ACB．直線B1D1C．直線A1D1D．直線A1A

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD1=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B1BCC1；
（2）設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，幾何體A1C1-ABC中，四邊形AA1C1C為平行四邊形，且面AA1C1C⊥面ABCAA1=A1C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線BC1與底面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知在三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，則點(diǎn)P在平面ABC上的射影為△ABC的（　　）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1B的中點(diǎn)，
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥平面BDF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分別是線段PA、CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α；
（Ⅲ）求異面直線EF與BD所成的角β．

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