Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-px+1，p為常數(shù)（p＞0）g（x）=

3

2

ax³-（3a-1）x+

3

2

a-1，若對任意的x∈〔1，+∞），函數(shù)g（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：當(dāng)a=0時，g（x）=x-1，g′（x）=1，g（x）＞g（1）=1-1=0，成立；當(dāng)a≠0時，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1，a＞0時，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1＞0，g（x）＞g（1）=

3

2

a-(3a-1)+

3

2

a-1=0成立；a＜0時，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1＞0不成立，函數(shù)g（x）≥0不恒成立．由此得到實數(shù)a的取值范圍[0，+∞）．

解答： 解：當(dāng)a=0時，g（x）=x-1，g′（x）=1，
在x∈（1，+∞）上，g′（x）=1＞0，f（x）是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=1-1=0，
∴a=0成立；
當(dāng)a≠0時，g（x）=

3

2

ax³-（3a-1）x+

3

2

a-1，
g′(x)=

9

2

ax2-3a+1，
∵x＞1，
∴a＞0時，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1＞0，
g（x）＞g（1）=

3

2

a-(3a-1)+

3

2

a-1=0，
∴a＞0時，成立；
∵x＞1，
∴a＜0時，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1＞0不成立，
∴函數(shù)g（x）≥0不恒成立．
綜上所述，a≥0．
∴實數(shù)a的取值范圍[0，+∞）．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．