Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上存在兩點A、B關(guān)于直線y=4x+m對稱，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：假設(shè)存在實數(shù)m，使得在此橢圓C上存在不同兩點關(guān)于直線y=4x+m對稱．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀），因為在此橢圓C上存在不同兩點關(guān)于直線y=4x+m對稱，所以k_AB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，再用點差法進行求解．

解答： 解：存在實數(shù)m，使得在此橢圓C上存在不同兩點關(guān)于直線y=4x+m對稱．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀），
∵在此橢圓C上存在不同兩點關(guān)于直線y=4x+m對稱，
∴K_AB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，
∵3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
相減得3（x₂²-x₁²）+4（y₂²-y₁²）=0，即y₁+y₂=3（x₁+x₂），
∴y₀=3x₀，3x₀=4x₀+m，x₀=-m，y₀=-3m
而M（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)部，則

m2

4

+

9m2

3

＜1，即-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．
故存在實數(shù)m∈（-

2 13

13

，

2 13

13

），使得在此橢圓C上存在不同兩點關(guān)于直線y=4x+m對稱．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數(shù)學思維的要求較高．解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．