Question

已知函數(shù)（）.

（1）當時，求的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點，且，求證：（其中是的導函數(shù)）．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：解題思路：（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用該區(qū)間上的極值的正負判斷函數(shù)零點的個數(shù)；（3）通過構造函數(shù)求最值進行證明.規(guī)律總結：利用導數(shù)研究函數(shù)的性質是常見題型，主要是通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、求單調區(qū)間、求極值、最值以及不等式恒成立等問題，往往計算量較大，思維量大，要求學生有較高的邏輯推理能力.

試題解析：（1）當時，，，切點坐標為，

切線的斜率，則切線方程為，即.

（2），則，

因，故時，.當時，；當時，.

所以在處取得極大值.

又，，，則，

在上有兩個零點，則

解得，即實數(shù)的取值范圍是.

（3）因為的圖象與軸交于兩個不同的點，

所以方程的兩個根為，則兩式相減得.又，，則.

下證（*），即證明，，

因為，∴，即證明在上恒成立.

所以，又，∴，

所以在上是增函數(shù)，則，從而知，

故（*）式成立，即成立.

考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.利用導數(shù)研究函數(shù)的零點.