【題目】函數(shù)f(x)= ,若曲線f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若f(x)在(m,m+1)上存在極值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)求證:當(dāng)x>1時(shí), > .
【答案】
(1)解:∵f′(x)= ,
f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線斜率為﹣ ,
由切線與直線e2x﹣y+e=0垂直,
可得f′(e)=﹣ ,即有﹣ =﹣
解得得a=1,
∴f(x)= ,f′(x)=﹣ (x>0)
當(dāng)0<x<1,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,f(x)為減函數(shù).
∴x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)
又f(x)在(m,m+1)上存在極值
∴m<1<m+1 即0<m<1
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1)
(2)解:不等式 >
即為 >
令g(x)=
則g′(x)= ,
再令φ(x)=x﹣lnx,則φ′(x)=1﹣ = ,
∵x>1∴φ′(x)>0,φ(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴φ(x)>φ(1)=1>0,g′(x)>0,
∴g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴x>1時(shí),g(x)>g(1)=2
故 > .
令h(x)= ,則h′(x)= ,
∵x>1∴1﹣ex<0,h′(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù)
∴x>1時(shí),h(x)<h(1)= ,
所以 >h(x),即 >
【解析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件可得a=1,求導(dǎo)數(shù),求單調(diào)區(qū)間和極值,令m<1<m+1,解不等式即可得到取值范圍;(2)不等式 > 即為 > ,令g(x)= ,通過(guò)導(dǎo)數(shù),求得 > ,令h(x)= ,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證得h(x)<h(1)= ,原不等式即可得證.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)證明函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù);
(2)若x∈[0,2],求函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式|x+6|+|x﹣1|≥m恒成立. (I) 求m 的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)m取最大值時(shí),解關(guān)于x的不等式:|x﹣4|﹣3x≤2m﹣9.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線: ,直線與拋物線交于, 兩點(diǎn).
(1)若直線, 的斜率之積為,證明:直線過(guò)定點(diǎn);
(2)若線段的中點(diǎn)在曲線: 上,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,△BCD為正三角形,AD=AB=2, ,AC與BD中心O點(diǎn),將△ACD沿邊AC折起,使D點(diǎn)至P點(diǎn),已知PO與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證:平面PAC⊥平面PDB;
(2)求已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P為正方體ABCD﹣A1B1C1D1中AC1與BD1的交點(diǎn),則△PAC在該正方體各個(gè)面上的射影可能是( )
A.①②③④
B.①③
C.①④
D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=2px(p>0),其準(zhǔn)線方程為x+1=0,直線l過(guò)點(diǎn)T(t,0)(t>0)且與拋物線交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線方程,并證明: 的值與直線l傾斜角的大小無(wú)關(guān);
(2)若P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),記|PT|的最小值為函數(shù)d(t),求d(t)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】北京某附屬中學(xué)為了改善學(xué)生的住宿條件,決定在學(xué)校附近修建學(xué)生宿舍,學(xué)?倓(wù)辦公室用1000萬(wàn)元從政府購(gòu)得一塊廉價(jià)土地,該土地可以建造每層1000平方米的樓房,樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān),樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高萬(wàn)元,已知建筑第5層樓房時(shí),每平方米建筑費(fèi)用為萬(wàn)元.
若學(xué)生宿舍建筑為x層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為y萬(wàn)元,綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和,寫(xiě)出的表達(dá)式;
為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,學(xué)校應(yīng)把樓層建成幾層?此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=2an﹣n.
(Ⅰ)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記bn= + ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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