【題目】已知拋物線y2=2px（p＞0），其準線方程為x+1=0，直線l過點T（t，0）（t＞0）且與拋物線交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求拋物線方程，并證明： 的值與直線l傾斜角的大小無關(guān)；
（2）若P為拋物線上的動點，記|PT|的最小值為函數(shù)d（t），求d（t）的解析式．

【答案】
（1）解：由題意可知：準線方程x=﹣1，則﹣ =﹣1，則p=2，

∴拋物線的標準方程為：y2=4x，

證明：若直線l的斜率不存在，則其方程為x=t，代入y2=4x得，A（t，2 ），B（t，﹣2 ），

則 =t2﹣4t，

則若直線l的斜率存在，設(shè)其斜率為 （k≠0），則l的方程為x=my+t，

聯(lián)立 ，整理得：y2﹣4ky﹣4t=0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4k，y1y2=﹣4t，

x1x2=（my1+t）（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=t2．

=x1x2+y1y2=t2﹣4t，

綜上， 的值t2﹣4t與直線l傾斜角的大小無關(guān)


（2）解：設(shè)P（x，2 ），則丨PT丨2=（x﹣t）2+（2 ﹣0）2=x2﹣2（t﹣2）x+t2，（x＞0），

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當對稱軸x=t﹣2＜0，即0＜t＜2時，當x=0時，丨PT丨取最小值，最小值為t，

當t﹣2≥0時，即x=t﹣2時，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值為2 ，

d（t）的解析式，d（t）=


【解析】（1）由題意可知p=2，求得拋物線方程，當直線斜率存在時，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得 的值與直線l傾斜角的大小無關(guān)；（2）利用點到直線的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得|PT|的最小值，求得d（t）的解析式．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左右頂點為，右焦點為，一條準線方程是，點為橢圓上異于的兩點，點為的中點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線交直線于點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；

（3）若，求直線斜率的取值范圍。

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【題目】如圖，在幾何體A1B1D1﹣ABCD中，四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P為DD1的中點．
（Ⅰ）求證：AB1⊥PC；
（Ⅱ）求幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積．

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【題目】函數(shù)f（x）= ，若曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若f（x）在（m，m+1）上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）求證：當x＞1時， ＞ ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)，為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象與直線相切．

（1）求的解析式；

（2）已知函數(shù)且，求的單調(diào)遞減區(qū)間和極值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sinωx﹣ cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四個實數(shù)根，則實數(shù)ω的取值范圍為（ ）
A.（ ， ]
B.（ ， ]
C.（ ， ]
D.（ ， ]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．
（1）證明：平面ACF⊥平面BEFD
（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知命題關(guān)于的不等式的解集是,命題函數(shù)的定義域為.

（1）如果為真命題,求實數(shù)的取值范圍;

（2）如果為真命題, 為假命題, 求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，直線C1：x=﹣2，圓C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求C1 ， C2的極坐標方程；
（Ⅱ）若直線C3的極坐標方程為θ= （ρ∈R），設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．

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