Question

3．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx-c，x＜0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，若b=$\frac{5}{π}$${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，c=${∫}_{0}^{x}$sinxdx，則方程f（x）-$\frac{x}{4π}$=0的不等實(shí)根的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意首先求出b，c的值，然后畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$的幾何意義是曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$和x軸所圍成的圖形的面積，顯然是$\frac{1}{4}$個(gè)半徑為2的圓，其面積是$\frac{1}{4}π×{2}^{2}=π$，即b=$\frac{5}{π}$${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=5，
c=${∫}_{0}^{x}$sinxdx=-cosx|${\;}_{0}^{π}$=2，所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+5x-2，x＜0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$
當(dāng)x＜0時(shí)，令f（x）-$\frac{x}{4π}$=0，得x²+（5-$\frac{1}{4π}$）x-2=0，此方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，即x＜0時(shí)，此方程有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）-$\frac{x}{4π}$=0，得lgx=$\frac{x}{4π}$，作出函數(shù)y=lgx與函數(shù)y=$\frac{x}{4π}$的圖象，如圖
當(dāng)x=10時(shí)，函數(shù)y=lgx的值為1，而函數(shù)y=$\frac{x}{4π}$的值為$\frac{5}{2π}$＜1，故在區(qū)間（0，10）上，函數(shù)y=lgx與函數(shù)y=$\frac{x}{4π}$的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，
又y=$\frac{x}{4π}$的增長(zhǎng)速度比y=lgx快，故在區(qū)間（10，+∞）上，函數(shù)y=lgx與函數(shù)y=$\frac{x}{4π}$的圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，即它們?cè)?nbsp;（0，+∞）上恰有兩個(gè)交點(diǎn)；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用數(shù)形結(jié)合，求函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；屬于中檔題．