Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），關(guān)于數(shù)列{a_n}有下列幾個命題：
①若a_n=a_n+1（n∈N^*），則{a_n]既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；
②若S_n=an²+bn（a、b∈R），則{a_n}是等差數(shù)列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，則{a_n}是等比數(shù)列；
④若{a_n}為等差數(shù)列，且存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N*），則對于任意自然數(shù)n＞k，都有a_n＞0．
其中正確命題的序號是②③④．

Answer 1

分析 對于①，直接據(jù)反例進行判斷；
對于②和③，利用數(shù)列中a_n與S_n的關(guān)系式求出數(shù)列的通項，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義加以驗證；
對于④依題意，可得公差d＞0，從而可判斷④正確．

解答 解：①如：數(shù)列0、0、0、…，是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列，則①不正確；
②由S_n=an²+bn，（a，b∈R），當(dāng)n=1時，a₁=S₁=a+b，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b．
當(dāng)n=1時a₁適合上式．
∴a_n=2an-a+b．滿足a_n+1-a_n=2a為常數(shù)，則{a_n}是等差數(shù)列，
當(dāng){a_n}是等差數(shù)列時，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac6116111{2}$n²+（a₁-$\frac1116111{2}$）n，
即為S_n=an²+bn（a，b∈R）形式，成立，則②正確；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=1-（-1）ⁿ-[1-（-1）^n-1]=（-1）ⁿ⁺¹+（-1）^n-1，
當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=2．當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=-2．
所以{a_n}是等比數(shù)列，則③正確；
④一個等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N^*），由a_k+1=a_k+d知a_k+d＞a_k＞0，
故d＞0，所以，對于任意自然數(shù)n＞k，都有a_n＞0，則④正確；
故答案為：②③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，以及數(shù)列中a_n與S_n的關(guān)系式應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于對基礎(chǔ)知識的理解與掌握．