1.在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足,線段PD中點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)M到直線l:x-y+1=0距離最大值為( 。
A.$\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$B.$\frac{{\sqrt{10}-\sqrt{2}}}{2}$C.$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$D.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

分析 設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),由M為線段PD的中點(diǎn)得到P的坐標(biāo),把P的坐標(biāo)代入圓x2+y2=4求得線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程;
再利用參數(shù)法求出點(diǎn)M到直線l:x-y+1=0距離最大值.

解答 解:設(shè)點(diǎn)M(x,y),由題意D(x,0),P(x,y1),
∵M(jìn)為線段PD的中點(diǎn),∴y1+0=2y,y1=2y;
又∵P(x,y1)在圓x2+y2=4上,∴x12+y12=4,
∴x2+4y2=4,即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1;
∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓,
設(shè)x=2cosθ,y=sinθ,
則點(diǎn)M到直線l:x-y+1=0的距離為
d=$\frac{|2cosθ-sinθ+1|}{\sqrt{{1}^{2}{+(-1)}^{2}}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin(θ+α)+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$,其中tanα=-2;
所以d的最大值為$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程以及點(diǎn)到直線距離的應(yīng)用問題,是較難的題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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11.若實(shí)數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2>0}\\{y-x-1<0}\\{x≤1}\end{array}\right.$,設(shè)u=x+2y,v=2x+y,則$\frac{u}{v}$的最大值為( 。
A.1B.$\frac{5}{4}$C.$\frac{7}{5}$D.2

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12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),關(guān)于數(shù)列{an}有下列幾個(gè)命題:
①若an=an+1(n∈N*),則{an]既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;
②若Sn=an2+bn(a、b∈R),則{an}是等差數(shù)列;
③若Sn=1-(-1)n,則{an}是等比數(shù)列;
④若{an}為等差數(shù)列,且存在ak+1>ak>0(k∈N*),則對(duì)于任意自然數(shù)n>k,都有an>0.
其中正確命題的序號(hào)是②③④.

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9.對(duì)于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿足f(-x)=-f(x),則稱f(x)為“局部奇函數(shù)”,若f(x)=4x-m2x+1+m2-5為定義域R上的“局部奇函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是1-$\sqrt{5}$<m≤2$\sqrt{3}$.

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6.某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中x的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù).

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13.?dāng)?shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)和是Sn,Sn=2an-1,n∈N*
(1)求a2,a3,a4;
(2)求通項(xiàng)公式an;
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(I)  求圓M的方程.
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