Question

已知平面向量向量

a

=（

3

，-1），向量

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）求證：

a

⊥

b

；
（2）令

m

=

a

+（sin2α-2cosα）

b

，

n

=（

1

4

sin22α）

a

+（cosα）

b

，若

m

⊥

n

，α∈（0，π），求角α．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式及向量垂直的條件，即可得證；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和向量垂直的條件，結(jié)合二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)整理即可得到．

解答： （1）證明：∵

a

•

b

=

3

•

1

2

-

3

2

=0，
∴

a

⊥

b

；
（2）解：易知|

a

|2=4，|

b

|2=1，

a

•

b

=0．
∵

m

⊥

n

∴

m

•

n

=0，
即

1

4

sin²α×|

a

|²+cosα（sin2α-2cosα）•|

b

|²=0，
∴sin²2α+sin2α•cosα-2cos²α=0⇒（sin2α+2cosα）（sin2α-cosα）=0
⇒2cos²α（sinα+1）（2sinα-1）=0，
∵α∈（0，π）
∴α=

π

6

，

π

2

，

5π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．