Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線D：y²=2px（p＞0）的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求雙曲線C的漸近線方程；
（Ⅱ）求p的值．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線方程與拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程，結(jié)合雙曲線的離心率，即可求出雙曲線的漸近線方程，
（2）聯(lián)立方程求出A，B兩點的坐標，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值．

解答 解：（1）∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
∴雙曲線的漸近線方程是y=±$\frac{a}$x
又拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B兩點的縱坐標分別是y=±$\frac{pb}{2a}$，
又由雙曲線的離心率為2，所以$\frac{c}{a}=2$，則$\frac{a}=\sqrt{3}$，
即雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．
（2）∵拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程是x=-$\frac{p}{2}$，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{x=-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{p}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}p}{2}}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}p}{2}$），同理B（-$\frac{p}{2}$，$\frac{\sqrt{3}p}{2}$），
則|AB|=$\sqrt{3}$p，
又△AOB的面積為$\sqrt{3}$，x軸是角AOB的角平分線
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}p$×$\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，得p=2．

點評 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點的坐標，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系也是本題的解題關(guān)鍵，有一定的運算量．