Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，離心率為.分別是橢圓的上、下頂點，是橢圓上異于的一點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點在直線上，且，求的面積；

（3）過點作斜率為的直線分別交橢圓于另一點，交軸于點，且點在線段上（不包括端點），直線與直線交于點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)離心率，先將橢圓方程化為，再將點代入，求出，即可得出橢圓方程；

（2）先由題意，設(shè)，，根據(jù)，得到，代入橢圓方程，再根據(jù)，即可求出結(jié)果；

（3）設(shè)，得到直線的方程，得出，再由直線與橢圓方程聯(lián)立，根韋達定理，以及題中條件，得出，最后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，即可得出結(jié)果.

（1）由題意，，代入點，解得，

所以即為所求橢圓的方程；

（2）由題意，設(shè)，，

由，得，代入橢圓方程，解得，

因此；

（3）設(shè)，則直線，則，

聯(lián)立與橢圓方程，得，

由韋達定理，得，所以，

所以；，

聯(lián)立直線和直線，得

所以，

又是橢圓上異于的一點，所以，即

所以可得.