Question

已知向量

a

=（sinx，

1

2

），

b

=（cosx，-1），
（1）當

a

⊥

b

時，求x的值；
（2）求f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）當

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=0，利用坐標表示展開，即可求得x的值；
（2）先將f（x）=（

a

+

b

）•

b

用坐標表示，得到三角函數，再化簡，利用三角函數的最值求出最值即得．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，

1

2

），

b

=（cosx，-1），

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，即sinxcosx-

1

2

=0，整理得sin2x=1，所以2x=2kπ+

π

2

，k∈z．
解得x=kπ+

π

4

，k∈z．
（2）f（x）=（

a

+

b

）•

b

=

a

•

b

+

b

2=sinxcosx-

1

2

+cos²x+1=

1

2

sin2x-

1

2

+

1+cos2x

2

+1=

2

2

sin（2x+

π

4

）+1，
又x∈[-

π

2

，0]，可得2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，所以sin（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]，所以

2

2

sin（2x+

π

4

）+1∈[1-

2

2

，

3

2

]，
綜上，f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的最大值與最小值分別為

3

2

，1-

2

2

．

點評：本題考查平面向量與三角函數性質的綜合，三角恒等變換公式的應用，是向量與三角結合的一種較常見的方式，也是近幾年高考常出的類型．