Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ex，g（x）=x-elnx．
（1）求函數(shù)g（x）的極值；
（2）若對(duì)任意的x∈[$\frac{1}{e}$，+∞），方程f（x）=ag（x）有且只有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-ag（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系，分類討論即可求出

解答 解：（1）∵g（x）=x-elnx，x＞0
∴g′（x）=1-$\frac{e}{x}$，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，解得x＞e時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，解得0＜x＜e時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值，即為g（e）=e-e=0，無(wú)極大值，
（2）設(shè)h（x）=f（x）-ag（x），
∵方程f（x）=ag（x）有且只有兩個(gè)實(shí)根，
∴h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個(gè)實(shí)根，
∴h′（x）=f′（x）-ag′（x）=x-e-a（1-$\frac{e}{x}$）=$\frac{（x-a）（x-e）}{x}$，
①當(dāng)a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，當(dāng)h′（x）＞0時(shí)，即（x-a）（x-e）＞0，解得x＞e，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)h′（x）＜0時(shí)，即（x-a）（x-e）＜0，解得$\frac{1}{e}$≤x＜e，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（e）=-$\frac{1}{2}$e²＜0，
∵h(yuǎn)（x）=0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個(gè)實(shí)根，
∴h（$\frac{1}{e}$）≥0
∴$\frac{1}{2{e}^{2}}$-1-a（$\frac{1}{e}$+e）≥0，
解得a≤$\frac{1-2{e}^{2}}{2e（e+1）}$＜0，
②當(dāng)$\frac{1}{e}$＜a＜e時(shí)，當(dāng)h′（x）＞0時(shí)，解得$\frac{1}{e}$≤x＜a或x＞e，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)h′（x）＜0時(shí)，解得a≤x＜e，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（e）=-$\frac{1}{2}$e²＜0，
當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有極大值，即為h（a）=$\frac{1}{2}$a²-ae-a²-e+aelna＜0，
∴h（x）=0只有一個(gè)根，不滿足題意；
③當(dāng)a=e，h（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=$\frac{1}{2{e}^{2}}$-1-e（$\frac{1}{e}$+e）≤0，
∴h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，+∞）只有一個(gè)根，不合題意；
④當(dāng)a＞e時(shí)，當(dāng)h′（x）＞0時(shí)，解得$\frac{1}{e}$≤x＜e或x＞a，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)h′（x）＜0時(shí)，解得e≤x＜a，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)h（x）由極大值，極大值為h（e）=-$\frac{1}{2}$e²＜0，
∴h（x）=0只有一個(gè)根，不滿足題意，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，$\frac{1-2{e}^{2}}{2e（e+1）}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值得關(guān)系和分類討論的能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．