Question

8．定義在（-1，1）的函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）；②當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0．回答下列問(wèn)題：
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（3）若f（$\frac{1}{5}$）=$\frac{1}{2}$，試求f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{11}$）-f（$\frac{1}{19}$）的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．可令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，代入化簡(jiǎn)可得f（-x）=-f（x），即可得到結(jié)論；
（2）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．運(yùn)用定義，設(shè)0＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=f（m）+f（-n），結(jié)合兩個(gè)條件，即可得到結(jié)論；
（3）方法一、由（1）計(jì)算f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{11}$）-f（$\frac{1}{19}$）=f（$\frac{5}{13}$），再由f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{5}$）=f（$\frac{5}{13}$），即可得到結(jié)果；
方法二、分別計(jì)算f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{5}$），f（$\frac{1}{3}$）-f（$\frac{1}{11}$），f（$\frac{1}{4}$）-f（$\frac{1}{19}$），累加即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
理由：對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），
令x=y=0得2f（0）=f（0），可得f（0）=0，
令y=-x則f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
所以f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)；
（2）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
理由：設(shè)0＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=f（m）+f（-n）=f（$\frac{m-n}{1-mn}$），
而m-n＜0，0＜mn＜1，則$\frac{m-n}{1-mn}$＜0，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，
所以f（$\frac{m-n}{1-mn}$）＞0，即有f（m）＞f（n），
則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
（3）方法一、由f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)，可得
f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{11}$）-f（$\frac{1}{19}$）=f（$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{11}}{1-\frac{1}{22}}$）-f（$\frac{1}{19}$）
=f（$\frac{3}{7}$）-f（$\frac{1}{19}$）=f（$\frac{\frac{3}{7}-\frac{1}{19}}{1-\frac{3}{7}×\frac{1}{19}}$）=f（$\frac{5}{13}$），
f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{5}$）=f（$\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}{1+\frac{1}{25}}$）=f（$\frac{5}{13}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1．
法二：由于f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{5}$）=f（$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{10}}$）=f（$\frac{1}{3}$），
f（$\frac{1}{3}$）-f（$\frac{1}{11}$）=f（$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{11}}{1-\frac{1}{33}}$）=f（$\frac{1}{4}$），f（$\frac{1}{4}$）-f（$\frac{1}{19}$）=f（$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{19}}{1-\frac{1}{4×19}}$）=f（$\frac{1}{5}$），
則f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{11}$）-f（$\frac{1}{19}$）=2f（$\frac{1}{5}$）=2×$\frac{1}{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及證明、應(yīng)用，主要是求函數(shù)值，考查轉(zhuǎn)化思想和定義法的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．