Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，g（x）=ax﹣3．
（1）當(dāng)a=l時，確定函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若對任意x∈[0，4]，總存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x）成立，求 實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：當(dāng)a=l時，確定函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）=）= ﹣x+3．

∵x∈（0，+∞）

則 = ＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)

（2）解：由題意：x∈[0，4]上函數(shù)f（x）= 的值域M=[3，5]，

設(shè)函數(shù)g（x）=ax﹣3的值域N．

∵x0∈[﹣2，2]，g（x）=ax﹣3．

當(dāng)a=0時，g（x）=﹣3，即值域N={﹣3}，

∵MN，

∴不滿足題意．

當(dāng)a＞0時，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，其值域N=[﹣2a﹣3，2a﹣3]，

∵MN，

∴需滿足 ，

解得：a≥4．

當(dāng)a＜0時，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，其值域N=[2a﹣3，﹣2a﹣3]，

∵MN，

∴需滿足

解得：a≤﹣4．

綜上所得：對任意x∈[0，4]，總存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x）成立，

實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）

【解析】（1）由題意：當(dāng)a=l時，確定函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）=）= ﹣x+3．判斷x在（0，+∞）上 與x的大小可得單調(diào)性．（2）求解x∈[0，4]上函數(shù)f（x）= 的值域M，x0∈[﹣2，2]上，對a討論函數(shù)g（x）=ax﹣3的值域N，
根據(jù)MN，可得實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．