Question

【題目】分別過橢圓E： =1（a＞b＞0）左、右焦點F1、F2的動直線l1、l2相交于P點，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k1、k2、k3、k4 ， 且滿足k1+k2=k3+k4 ， 已知當(dāng)l1與x軸重合時，|AB|=2 ，|CD|= ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)l1與x軸重合時，k1+k2=k3+k4=0，

即k3=﹣k4，

∴l(xiāng)2垂直于x軸，得|AB|=2a=2 ，|CD|= ，

解得a= ，b= ，

∴橢圓E的方程為

（2）解：焦點F1、F2坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（1，0），

當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（﹣1，0）或（1，0），

當(dāng)直線l1，l2斜率存在時，設(shè)斜率分別為m1，m2，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，

得 ，

∴ ， ，

= = = ，

同理k3+k4= ，

∵k1+k2=k3+k4，

∴ ，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，

由題意知m1≠m2，

∴m1m2+2=0，

設(shè)P（x，y），則 ，

即 ，x≠±1，

由當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時，

P點坐標(biāo)為（﹣1，0）或（1，0）也滿足，

∴點P（x，y）點在橢圓 上，

∴存在點M，N其坐標(biāo)分別為（0，﹣1）、（0，1），

使得|PM|+|PN|為定值2

【解析】（1）由已知條件推導(dǎo)出|AB|=2a=2 ，|CD|= ，由此能求出橢圓E的方程．（2）焦點F1、F2坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（1，0），當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（﹣1，0）或（1，0），當(dāng)直線l1 ， l2斜率存在時，設(shè)斜率分別為m1 ， m2 ， 設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 ，得 ，由此利用韋達定理結(jié)合題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在點M，N其坐標(biāo)分別為（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2 ．