Question

11．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)E（-1，0）且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交此橢圓于C，D兩點(diǎn)，若線段CD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M（x₀，0），求實(shí)數(shù)x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$．由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{\frac{2{a}^{2}}{c}=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由題意知直線l的斜率存在且不等于0，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，（k≠0），利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得中點(diǎn)，再利用垂直平分線的性質(zhì)、點(diǎn)斜式可得方程，進(jìn)而得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$．
由已知得$\left\{{\begin{array}{l}{b=c}\\{\frac{{2{a^2}}}{c}=4}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=2}\\{{b^2}=1}\\{{c^2}=1}\end{array}}\right.$，
∴所求橢圓方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$
（2）由題意知直線l的斜率存在且不等于0，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$消去y得關(guān)于x的方程；（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，（k≠0），
∵E（-1，0）在橢圓內(nèi)部，∴直線l與橢圓恒有兩交點(diǎn)，
設(shè)線段CD的中點(diǎn)為N（x_N，y_N）．
又由韋達(dá)定理得${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
∴${x_N}=-\frac{{2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${y_N}=k（{x_N}+1）=\frac{k}{{1+2{k^2}}}$，
∴線段CD的垂直平分線是：$y-{y_N}=-\frac{1}{k}（x-{x_N}）$，
令y=0，∴${x_0}={x_N}+k{y_N}=-\frac{k^2}{{2{k^2}+1}}，（k≠0）$，
∴${x_0}∈（-\frac{1}{2}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．