Question

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，且AB=AC=5，BC=6，AA₁=9，D為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為C₁C上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若CF=6，求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B₁D，求三棱錐B₁-ADF的體積．

Answer 1

分析 （1）證明直線與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直，通過(guò)證明AD⊥平面BCC₁B₁得AD⊥B₁F，然后在矩形BCC₁B₁中通過(guò)證明Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁得B₁F⊥FD，問(wèn)題從而得證．
（2）利用等體積法，將要求的三棱錐B₁-ADF的體積轉(zhuǎn)化為高和底面都已知的三棱錐A-B₁DF的體積來(lái)求．

解答 （1）證明：∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，
又直三棱柱中：BB₁⊥底面ABC，AD?底面ABC，
∴AD⊥BB₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵B₁F?平面BCC₁B₁
∴AD⊥B₁F．
在矩形BCC₁B₁中：C₁F=CD=3，CF=C₁B₁=6
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁，
∴∠CFD=∠C₁B₁F
∴∠B₁FD=90°，即B₁F⊥FD，
∵AD∩FD=D，
∴B₁F⊥平面AFD；
（2）解：∵FD⊥B₁D，BC=6，AA₁=9，D為BC的中點(diǎn)，
∴CF=1，C₁F=8，
∴${S}_{△{B}_{1}DF}$=6×9-$\frac{1}{2}×1×3$-$\frac{1}{2}×3×9$-$\frac{1}{2}×6×8$=15，
∵D為BC的中點(diǎn)，AB=AC=5，BC=6，
∴AD=4，
∵AD⊥平面BCC₁B₁，
∴三棱錐B₁-ADF的體積=三棱錐A-B₁DF的體積=$\frac{1}{3}×15×4$=20．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是個(gè)中檔題．