Question

2．已知$\overrightarrow{a}=（\sqrt{3}sinx，cosx）$，$\overrightarrow$=（cosx，-cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C對邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若sinB=2sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知向量的坐標(biāo)結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角差的正弦可得f（x）的解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）利用sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，結(jié)合范圍0＜C＜π，利用正弦函數(shù)的圖象及特殊角的三角函數(shù)值可求C的值，由已知結(jié)合正弦定理，余弦定理可求a，b的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算求值得解．

解答 （本題滿分10分）
解：（Ⅰ）由題意得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，…（3分）
則f（x）的最小值是-2，
最小正周期是T=$\frac{2π}{2}=π$；…（5分）
（Ⅱ）f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，則sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，
∴0＜2C＜2π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：C=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinA，由正弦定理，得$\frac{a}=\frac{1}{2}$，①…（8分）
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=3，②
由①②解得a=1，b=2．           
 故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．