Question

4．已知函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）²，（b≠0），不等式f（x）≥mxf′（x）對(duì)?x∈R恒成立，則2m+a-b=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由條件可得，（x-b）{（1-3m）x²+[m（2a+b）-（a+b）]x+ab}≥0恒成立，可得m=$\frac{1}{3}$，故（x-b）[（a+2b）x-3ab]≤0恒成立．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a-b=0即可．

解答 解：∵f（x）≥mxf′（x），
∴（x-a）（x-b）² ≥m•x（x-b）[3x-（2a+b）]，
∴（x-b）{（1-3m）x²+[m（2a+b）-（a+b）]x+ab}≥0．
若m≠$\frac{1}{3}$，則左邊是一個(gè)一次因式，乘以一個(gè)恒正（或恒負(fù)）的二次三項(xiàng)式，或者是三個(gè)一次因式的積，無(wú)論哪種
情況，總有一個(gè)一次因式的指數(shù)是奇次的，這個(gè)因式的零點(diǎn)左右的符號(hào)不同，因此不可能恒非負(fù)，不滿足條件．
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴（x-b）[（a+2b）x-3ab]≤0恒成立．
若a+2b=0，則有a=-2b，∴a=b=0，（舍）
若a+2b≠0，則 x₁=b，x₂=$\frac{3ab}{a+2b}$，且 b=$\frac{3ab}{a+2b}$．
∵b≠0，則   $\frac{3a}{a+2b}$=1，∴a=b，即a-b=0且b＜0．
綜上可得，m=$\frac{1}{3}$，a-b=0，
∴2m+a-b=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．