Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙O的方程x²+y²=4，直線l：x=4，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過極點(diǎn)作射線交⊙O于A，交直線l于B．
（1）寫出⊙O及直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)AB中點(diǎn)為M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化公式，求得⊙O及直線l的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（ρ，θ），A（ ρ₁，θ）、B（ ρ₂，θ），則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{ρ=\frac{{ρ}_{1}{+ρ}_{2}}{2}}\\{{ρ}_{1}=2}\\{{ρ}_{2}cosθ=4}\end{array}\right.$，化簡可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）∵⊙O的方程x²+y²=4，故它的極坐標(biāo)方程為ρ²=4，即ρ=2；
∵直線l：x=4，故它的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4．
（2）由于AB中點(diǎn)為M，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（ρ，θ），A（ ρ₁，θ）、B（ ρ₂，θ），則$\left\{\begin{array}{l}{ρ=\frac{{ρ}_{1}{+ρ}_{2}}{2}}\\{{ρ}_{1}=2}\\{{ρ}_{2}cosθ=4}\end{array}\right.$，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 ρ=1+$\frac{2}{cosθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，求簡單曲線的極坐標(biāo)方程，屬于基礎(chǔ)題．