Question

10．如圖，AB是圓O的直徑，CD是弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，
（1）求證：△ACE∽△CBE；
（2）若AB=4，設(shè)OE=x（0＜x＜2），CE=y，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到AC與BC垂直，即三角形ABC為直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余得到一對(duì)角互余，再由CD與AB垂直，得到三角形ACE與三角形BCE都為直角三角形，同理得到一對(duì)角互余，等量代換得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似即可得證；
（2）連接OC，由AB垂直于CD，在直角三角形OCE中，由OE=x，OC=2，利用勾股定理表示出CE，代入CE=y中，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式．

解答 證明：（1）∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，
∴∠CBA=∠ACE，
∴△ACE∽△CBE；
解：（2）連接OC，
∵AB=4，
∴OC=2，
在Rt△OCE中，OE=x，OC=2，
根據(jù)勾股定理得：CE=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∵CE=y，
∴y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．