Question

19．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P為矩形內(nèi)部一點，且AP=1．若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），則2λ+$\sqrt{3}$μ的最大值是2．

Answer 1

分析 畫出圖形，根據(jù)題意知λ，μ＞0，根據(jù)條件對$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$兩邊平方，進行數(shù)量積的運算化簡，再利用三角代換以及兩角和與差的三角函數(shù)，從而求出2λ+$\sqrt{3}$μ的最大值．

解答 解：如圖所示，依題意知，λ＞0，μ＞0；
根據(jù)條件，
${\overrightarrow{AP}}^{2}$=λ²${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2λμ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+μ²${\overrightarrow{AD}}^{2}$=4λ²+μ²=1；
令λ=$\frac{1}{2}$cosθ，μ=sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以2λ+$\sqrt{3}$μ=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）；
所以當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時，sin（θ+$\frac{π}{6}$）=1，此時2λ+$\sqrt{3}$μ取得最大值2．
故答案為：2．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運算問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想以及計算能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．