Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中以原點(diǎn)O為極點(diǎn)以x軸為正半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，求xy的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原方程可化為${ρ^2}-4\sqrt{2}ρ[cosθ•cos\frac{π}{4}+sinθ•sin\frac{π}{4}]+6=0$，把$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}={x^2}+{y^2}\\ x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入化簡即可得出．
（Ⅱ）設(shè)$\frac{x-2}{{\sqrt{2}}}=cosθ$，$\frac{y-2}{{\sqrt{2}}}=sinθ$，代入化簡，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）原方程可化為${ρ^2}-4\sqrt{2}ρ[cosθ•cos\frac{π}{4}+sinθ•sin\frac{π}{4}]+6=0$，
即ρ²-4ρcosθ-sinθ+6=0，
∵$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}={x^2}+{y^2}\\ x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，
∴x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
（Ⅱ）設(shè)$\frac{x-2}{{\sqrt{2}}}=cosθ$，$\frac{y-2}{{\sqrt{2}}}=sinθ$，
則$xy=（2+\sqrt{2}cosθ）（2+\sqrt{2}sinθ）$=$4+2\sqrt{2}（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ$，
設(shè)t=cosθ+sinθ，則$t=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，∴$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，
t²=1+2sinθcosθ，從而2sinθcosθ=t²-1．
∴xy=t²+2$\sqrt{2}$t+3=$（t+\sqrt{2}）^{2}$+1，
當(dāng)$t=-\sqrt{2}$時(shí)，xy取得最小值1；當(dāng)$t=\sqrt{2}$時(shí)，xy取得最大值9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．