Question

11．已知過(guò)點(diǎn)P（-1，1）且斜率為k的直線l與拋物線y²=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值等于0或$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 易知符合條件的直線存在斜率，設(shè)直線方程為：y-1=k（x+1），與拋物線方程聯(lián)立消掉y得x的方程，按照x²的系數(shù)為0，不為0兩種情況進(jìn)行討論，其中不為0時(shí)令△=0可求．

解答 解：當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，不符合題意；
當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為：y-1=k（x+1），
代入拋物線y²=x，可得k²x²+（2k-1+2k²）x+k²+2k+1=0，
當(dāng)k=0時(shí)，方程為：-x+1=0，得x=1，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)（1，1），直線與拋物線相交；
當(dāng)k≠0時(shí)，令△=（2k-1+2k²）²-4k²（k²+2k+1）=0，解得k=$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
綜上，k的值等于0或$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為：0或$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．