Question

4．已知x，y，z∈（0，+∞）且x²+y²+z²=1，則3xy+yz的最大值為$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

Answer 1

分析 由于1=x²+y²+z²=（x²+$\frac{9}{10}$y²）+（$\frac{1}{10}$y²+z²），利用基本不等式，即可求出3xy+yz的最大值．

解答 解：由于1=x²+y²+z²=（x²+$\frac{9}{10}$y²）+（$\frac{1}{10}$y²+z²）≥6$\sqrt{\frac{1}{10}}$xy+2$\sqrt{\frac{1}{10}}$yz=$\frac{2}{\sqrt{10}}$（3xy+yz）
∴3xy+yz≤$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
∴3xy+yz的最大值為$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
故答案為$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

點評 本題考查求3xy+yz的最大值，考查基本不等式的運用，正確運用基本不等式是關鍵．