Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=e^x-a；由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求函數(shù)F（x）=f（x）-x1nx的定義域，由F（x）=0可化為a=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），從而令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），求導(dǎo)h′（x）=$\frac{{（e}^{x}-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，從而由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性并求最值；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；構(gòu)造函數(shù)H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；從而由導(dǎo)數(shù)確定恒成立問題．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a；
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0；函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜lna時(shí)，f′（x）＜0；
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna）；
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna）；
（2）F（x）=f（x）-x1nx的定義域?yàn)椋?，+∞），
由F（x）=0得，a=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），則h′（x）=$\frac{{（e}^{x}-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
由于x＞0，e^x-1＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1，h′（x）＜0；
故函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
故h（x）≥h（1）=e-1；
又由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，對?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0；
即e^x-1＞x，故 $\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1；
∵x＞0，∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞0，
當(dāng)x→0時(shí)，lnx→-∞，∴h（x）→+∞；
當(dāng)a＞e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
當(dāng)a=e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有且級有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a＜e-1時(shí)，函數(shù)F（x）沒有零點(diǎn)；
（3）由（2）知，當(dāng)x＞0時(shí)，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；
構(gòu)造函數(shù)H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；
故函數(shù)H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則H（x）＞H（0），
則?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
當(dāng)a≤1時(shí)，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，lna）上單調(diào)遞減，
幫當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），則不滿足題意，
所以滿足題意的a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．