Question

18．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x，將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，再向上平移2個單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象；若對任意實數(shù)x，都有g(shù)（a-x）=g（a+x）成立，則g（2a+$\frac{π}{2}$）+g（$\frac{π}{4}$）=（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得g（x）的解析式，再根據(jù)題意可得g（x）的圖象關(guān)于直線x=α對稱，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得α的值，可得g（2a+$\frac{π}{2}$）+g（$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：將f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$的圖象，
右移$\frac{π}{12}$個單位，再向上平移2個單位，得到：y=g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-$\frac{1}{2}+2$=sin2x+$\frac{3}{2}$的圖象，
令2x=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，即x=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
又因為：g（a-x）=g（a+x），
所以a=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
則：g（2a+$\frac{π}{2}$）+g（$\frac{π}{4}$）=sin（2π+2kπ）+$\frac{3}{2}$+sin$\frac{π}{2}$+$\frac{3}{2}$=0+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$=4．
故選：A．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．