Question

（本小題滿分14分）

       在平面直角坐標系xOy上，給定拋物線L:_．實數(shù)p，q滿足，x₁，x₂是方程的兩根，記。

（1）過點作L的切線教y軸于點       B．證明：對線段AB上任一點Q（p，q）有

（2）設(shè)M（a，b）是定點，其中a，b滿足a²-4b>0,a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線，切點分別為，與y軸分別交與F,F'。線段EF上異于兩端點的點集記為X．證明：M（a,b） X_;

（3）設(shè)D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）²-}．當點（p,q）取遍D時，求的最小值 （記為）和最大值（記為）．

Answer 1

（本小題滿分14分）

       解：（1）證明：切線的方程為

      

       當

       當

   （2）的方程分別為

       求得的坐標，由于，故有

       1）先證：

       （）設(shè)

       當

       當

       （）設(shè)

       當

       注意到

       2）次證：

   （）已知利用（1）有

   （）設(shè)，斷言必有

       若不然，令Y是上線段上異于兩端點的點的集合，

       由已證的等價式1）再由（1）得，矛盾。

       故必有再由等價式1），

       綜上，

   （3）求得的交點

       而是Ｌ的切點為的切線，且與軸交于，

       由（１）線段Q₁Q₂，有

       當

      

       在（0，2）上，令

       由于

       在[0，2]上取得最大值

      

       故      

      

      

       ,

       故