【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)原點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)，四邊形的周長(zhǎng)與面積分別為8與 .

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求證：到直線的距離為定值.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用四邊形的周長(zhǎng)和橢圓的定義得到，再利用四邊形的面積公式和點(diǎn)在橢圓上求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、平面向量的數(shù)量積為0進(jìn)行求解.

試題解析：(Ⅰ)不妨設(shè)點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，依題可得.

∵.

∵.

∵點(diǎn)在橢圓上，，解得，或（舍）,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為,

由消去得,

設(shè)則,

∵,

即,即,

到直線的距離為.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性易知到直線的距離為.

到直線的距離為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】城鎮(zhèn)化是國(guó)家現(xiàn)代化的重要指標(biāo)，據(jù)有關(guān)資料顯示，1978—2013年，我國(guó)城鎮(zhèn)常住人口從1.7億增加到7.3億．假設(shè)每一年城鎮(zhèn)常住人口的增加量都相等，記1978年后第t（限定）年的城鎮(zhèn)常住人口為億．寫(xiě)出的解析式，并由此估算出我國(guó)2017年的城鎮(zhèn)常住人口數(shù)．

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(1) 求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程

(2) 設(shè)當(dāng) α＝時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A1，B1，當(dāng) α＝－時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積．

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【題目】如圖，在本市某舊小區(qū)改造工程中，需要在地下鋪設(shè)天燃?xì)夤艿?已知小區(qū)某處三幢房屋分別位于扇形的三個(gè)頂點(diǎn)上，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，現(xiàn)欲在線段上找一處開(kāi)挖工作坑（不與點(diǎn)，重合），為鋪設(shè)三條地下天燃?xì)夤芫�，，，已知米，，記，該三條地下天燃?xì)夤芫�的總長(zhǎng)度為米.

（1）將表示成的函數(shù)，并寫(xiě)出的范圍；

（2）請(qǐng)確定工作坑的位置，使此處地下天燃?xì)夤芫�的總長(zhǎng)度最小，并求出總長(zhǎng)度的最小值.

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【題目】如圖，D是AC的中點(diǎn)，四邊形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．

若點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn)，證明：平面AMC；

求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．

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【題目】某縣畜牧技術(shù)員張三和李四9年來(lái)一直對(duì)該縣山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進(jìn)行跟蹤調(diào)查，張三提供了該縣某山羊養(yǎng)殖場(chǎng)年養(yǎng)殖數(shù)量y(單位：萬(wàn)只)與相成年份x(序號(hào))的數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖(如圖所示)，根據(jù)散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，李四提供了該縣山羊養(yǎng)殖場(chǎng)的個(gè)數(shù)z(單位：個(gè))關(guān)于x的回歸方程.

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的線性回歸方程(參考統(tǒng)計(jì)量：)；

(2)試估計(jì)：①該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬(wàn)只?

②到第幾年，該縣山羊養(yǎng)殖的數(shù)量與第一年相比縮小了?

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．

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【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.

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A. 甲、乙B. 丙、丁C. 乙、丁D. 甲、丙

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