【題目】已知橢圓 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線 與橢圓有且只有一個公共點.

(Ⅰ)求橢圓的方程及點的坐標;

(Ⅱ)設是坐標原點,直線平行于,與橢圓交于不同的兩點、,且與直線交于點,證明:存在常數(shù),使得,并求的值.

【答案】(,點T坐標為(2,1);(.

【解析】試題分析:本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質,考查學生的分析問題、解決問題的能力和數(shù)形結合的思想.第()問,利用直線和橢圓只有一個公共點,聯(lián)立方程,消去y得關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根,解出b的值,從而得到橢圓E的方程;第()問,利用橢圓的幾何性質,數(shù)形結合,根據(jù)根與系數(shù)的關系,進行求解.

試題解析:()由已知, ,則橢圓E的方程為.

由方程組.

方程的判別式為,由,得

此時方程的解為,

所以橢圓E的方程為.

T坐標為(2,1.

)由已知可設直線的方程為,

由方程組可得

所以P點坐標為(),.

設點A,B的坐標分別為.

由方程組可得.

方程的判別式為,由,解得.

.

所以,

同理

所以

.

故存在常數(shù),使得.

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第一種生產方式

第二種生產方式

8

6

5

5

6

8

9

9

7

6

2

7

0

1

2

2

3

4

5

6

6

8

9

8

7

7

6

5

4

3

3

2

8

1

4

4

5

2

1

1

0

0

9

0

1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高?并說明理由;

2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過m

不超過m

總計

第一種生產方式

第二種生產方式

總計

3)根據(jù)(2)中的列表,能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異?

附:,

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1)求該海產品不能銷售的概率.

2)如果該海產品可以銷售,則每件產品可獲利40元;如果該海產品不能銷售,則每件產品虧損80元(即獲利-80元).已知一箱中有該海產品4件,記一箱該海產品獲利元,求的分布列,并求出數(shù)學期望.

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1)根據(jù)莖葉圖完成下面的列聯(lián)表:

達標

未達標

總計

總計

2)判斷是否有的把握認為“數(shù)學成績達標與否”與“每天學習數(shù)學時間能否達到一小時”有關.

參考公式與臨界值表:,其中.

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