已知中心在原點,焦點在
軸上的橢圓
的離心率為
,且經(jīng)過點
,過點
的直線
與橢圓
相交于不同的兩點
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)是否存直線
,滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
(1)
;(2)
.
本試題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì)的和運用。第一問中,利用待定系數(shù)法求解橢圓的標準方程即可。結(jié)合橢圓的離心率為
,且經(jīng)過點
可得
(2)中假設(shè)存在直線
滿足條件,由題意可設(shè)直線
的方程為
,聯(lián)立方程組
結(jié)合韋達定理可知且
,即
,
所以
,解得
.
因為
,解得
.
所以最終得到k=1/2.
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓
的方程為
,由題意得
解得
,
,故橢圓
的方程為
. ……………………5分
(Ⅱ)若存在直線
滿足條件,由題意可設(shè)直線
的方程為
,
由
得
.
因為直線
與橢圓
相交于不同的兩點
,設(shè)
兩點的坐標分別為
,
所以
.
整理得
.
解得
.
又
,
,
且
,即
,
所以
. 即
.
所以
,解得
.
所以
.于是存在直線
滿足條件,其的方程為
. ………………13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題共13分)已知橢圓
的右焦點為
,
為橢圓的上頂點,
為坐標原點,且△
是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在直線
交橢圓于
,
兩點, 且使點
為△
的垂心(垂心:三角形三邊高線的交點)?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的一個焦點為F(2,0),離心率
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線
與橢圓交于不同的A,B兩點,與y軸交于E點,且
,求實數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題13分)已知離心率為
的橢圓
經(jīng)過點
.
(1)求橢圓
的方程;
(2)過左焦點
且不與
軸垂直的直線
交橢圓
于
、
兩點,若
(
為坐標原點),求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的離心率
,點F為橢圓的右焦點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,點M為橢圓的上頂點,且滿足
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線
,當直線
交橢圓于P、Q兩點時,使點F恰為
的垂心(三角形三條高的交點)?若存在,求出直線
方程;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)橢圓
的左焦點為
為橢圓上一點,其橫坐標為
,則
=( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)
是橢圓
的兩個焦點,
是橢圓上的動點(不能重合于長軸的兩端點),
是
的內(nèi)心,直線
交
軸于點
,則
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知
、
、
是長軸長為
的橢圓上的三點,點
是長軸的一個頂點,
過橢圓中心
,且
,
,
(1)求橢圓的方程;
(2)如果橢圓上兩點
、
使
的平分線垂直
,則是否存在實數(shù)
使
?請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知
是橢圓
的兩個焦點,P為橢圓
上的一點,且
.若
的面積為9,則
.
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