Question

14．某班為了提高學生學習英語的興趣，在班內(nèi)舉行英語寫、說、唱綜合能力比賽，比賽分為預賽和決賽2個階段，預賽為筆試，決賽為說英語、唱英語歌曲，將所有參加筆試的同學進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖，其中后三個矩形高度之比依次為4：2：1，落在[80，90）的人數(shù)為12人．
（Ⅰ）求此班級人數(shù)；
（Ⅱ）按規(guī)定預賽成績不低于90分的選手參加決賽，已知甲乙兩位選手已經(jīng)取得決賽資格，參加決賽的選手按抽簽方式?jīng)Q定出場順序．
（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；
（ii）記甲乙二人排在前三位的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）落在區(qū)間[80，90）的頻率是（1-0.16）×$\frac{2}{7}$，即可得出人數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，參加決賽的選手共6人，（i）設(shè)“甲不在第一位，乙不在最后一位”為事件A，利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出甲不在第一位、乙不在最后一位的概率．
（ii）隨機變量的可能取值為0，1，2，利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出隨機變量X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）落在區(qū)間[80，90）的頻率是$（1-0.16）×\frac{2}{7}=0.24$，
所以人數(shù)$n=\frac{12}{0.24}=50$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，參加決賽的選手共6人，
（i）設(shè)“甲不在第一位，乙不在最后一位”為事件A，
則$P（A）=\frac{A_5^5+A_4^1A_4^1A_4^4}{A_6^6}=\frac{7}{10}$，
所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率為$\frac{7}{10}$．
（ii）隨機變量的可能取值為0，1，2，$P（X=0）=\frac{A_3^2A_4^4}{A_6^6}=\frac{1}{5}$，$P（X=1）=\frac{C_2^1A_3^1A_3^1A_4^4}{A_6^6}=\frac{3}{5}$，$P（X=2）=\frac{A_3^2A_4^4}{A_6^6}=\frac{1}{5}$，
隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

因為$E（X）=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$，
所以隨機變量的數(shù)學期望為1．

點評 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．