Question

19．圓：x²+y²+2ax+a²-9=0和圓：x²+y²-4by-1+4b²=0有三條公切線，若a∈R，b∈R，且ab≠0，則$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由題意可得兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，得到a²+4b²=16，使用基本不等式求得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$最小值．

解答 解：由題意可得兩圓相外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 （x+a）²+y²=9，x²+（y-2b）²=1，
圓心分別為（-a，0），（0，2b），半徑分別為3和1，故有a²+4b²=16，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{16}$（$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$）（a²+4b²）=$\frac{1}{16}$（8+$\frac{16^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）≥$\frac{1}{16}$（8+8）=1，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$時，等號成立，
故選：A．

點評 本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相外切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，基本不等式的應(yīng)用，得到a²+4b²=16是解題的關(guān)鍵和難點．