Question

19．若點(diǎn)P是函數(shù)$y={e^x}-{e^{-x}}-3x（-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}）$圖象上任意一點(diǎn)，且在點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則α的最小值是$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)y′=e^x+e^-x-3，由-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，利用基本不等式可求出導(dǎo)數(shù)的范圍，進(jìn)而可求傾斜角的范圍．

解答 解：y′=e^x+e^-x-3，
∵-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，
∴0＞e^x+e^-x-3≥$2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-3=-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
即-1≤tanα＜0，
∴$\frac{3π}{4}$≤α＜π即傾斜角的最小值$\frac{3π}{4}$．
故答案為：$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是曲線的切線斜率，以及利用基本不等式求最值，屬于中檔題．