Question

19．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{m-5}$=1表示雙曲線，命題q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命題，且?（p∧q）也是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{m-5}$=1表示雙曲線，（m-2）（m-5）＜0，解得m范圍．命題q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，則m≤x+$\frac{4}{x}$的最小值，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．若p∨q是真命題，且?（p∧q）也是真命題，（即（p∧q）是假命題），p與q必然一真一假．進(jìn)而得出．

解答 解：命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{m-5}$=1表示雙曲線，（m-2）（m-5）＜0，解得2＜m＜5．
命題q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，則m≤x+$\frac{4}{x}$的最小值，
∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號．∴m≤4．
若p∨q是真命題，且?（p∧q）也是真命題，（即（p∧q）是假命題），
∴p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2＜m＜5}\\{m＞4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2或m≥5}\\{m≤4}\end{array}\right.$，
解得4＜m＜5，或m≤2．
∴m的取值范圍是（-∞，2]∪（4，5）．

點(diǎn)評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、基本不等式的性質(zhì)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．