Question

15．如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，A=$\frac{π}{6}$，D為AC延長線上一點，且CD=$\sqrt{3}+1$．
（Ⅰ）求∠BCD的大��；
（Ⅱ）求BD，AC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函數(shù)值，然后求出角的大��；
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的長，然后求出AC的長．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因為AB=2，A=$\frac{π}{6}$，BC=$\sqrt{2}$，
由正弦定理可得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{BC}{sinA}$，
即$\frac{2}{sin∠ACB}=\frac{\sqrt{2}}{sin\frac{π}{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$，
所以sin$∠ACB=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
因為∠ACB為鈍角，所以∠ACB=$\frac{3π}{4}$．  
∴∠BCD=$\frac{π}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD²=CB²+2CB．DC．cos∠BCD，
即BD²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}+1$）²-2$\sqrt{2}$．（$\sqrt{3}+1$）．cos$\frac{π}{4}$，
整理得BD=2．
在△ABC中，由余弦定理可知BC²=+AB²⁺AC²-2AB．AC．cosA，
即（$\sqrt{2}$）²=2²+AC²-2.2．AC．cos$\frac{π}{6}$，
整理得AC²-2$\sqrt{3}$AC+2=0．解得AC=$\sqrt{3}±1$．
因為∠ACB為鈍角，所以AC＜AB=2．所以AC=$\sqrt{3}$-1．…（12分）

點評 本題考查余弦定理的應(yīng)用，解三角形，考查基本知識的應(yīng)用，屬于中檔題．