Question

5．已知兩個非零向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線，
（1）若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow a+8\overrightarrow b$，$\overrightarrow{CD}=3（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，求證：A、B、D三點共線；
（2）試確定實數(shù)k，使得$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$共線；
（3）若$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（1，1），$\overrightarrow c=\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$，且$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用向量的坐標運算推導(dǎo)出$\overrightarrow{BD}$=5$\overrightarrow{AB}$，從而$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共線，由此能證明A、B、D三點共線．
（2）由已知得存在實數(shù)λ，使$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$=λ（$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$），從而得到k²-1=0，由此能求出k．
（3）先求出$\overrightarrow{c}$=（1+λ，2+λ），再由向量垂直數(shù)量積為0的性質(zhì)能求出λ．

解答 （1）證明：∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow a+8\overrightarrow b$，$\overrightarrow{CD}=3（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow+3（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$
=$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow+3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow$
=$5（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=5$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共線，
又∵它們有公共點B，∴A、B、D三點共線．
（2）解：∵$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$共線，
∴存在實數(shù)λ，使$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$=λ（$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$），
即$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$=λ$\overrightarrow{a}+λk\overrightarrow$，∴（k-λ）$\overrightarrow{a}$=$（λk-1）\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$是兩個不共線的非零向量，
∴k-λ=λk-1=0，∴k²-1=0，
解得k=±1．
（3）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（1，1），$\overrightarrow c=\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$，且$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{c}$=（1+λ，2+λ），
$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=1+λ+2+λ=0，解得λ=-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查三點共線的證明，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意向量平行、向量垂直的性質(zhì)的合理運用．